Рубрика: Методические материалы по математике

Цель: ознакомить учащихся с темой и задачей урока,  актуальность изучаемого материала, формирование учебной мотивации.

Цель: повторение знаний и навыков по теме «Проценты».

• Что называется процентом?  (одна сотая часть какого-либо числа)
• Как называется 1% от центнера?  (кг) Метра? (см) Гектара? (ар или сотка)
• Как найти 1% от данного числа а? (0,01∙а)
• Как определить  р% от данного числа а? (число а умножить на 0,01∙р )
• Как перевести десятичную дробь в проценты? (умножить на 100).
• Как перевести проценты в десятичную дробь? (разделить на сто, т.е. умножить на 0,01)
• Как найти какую часть одно число составляет от другого в процентах? (отношение этих чисел умножить на 100)
• Как находится число а по его проценту? (данную часть числа  разделить на 0,01р)

2) Устный счет (слайд 4)

• Представьте данные десятичные дроби в процентах: 1; 0,5; 0,763; 1,7; 256.
• Представьте проценты десятичными дробями: 2%; 12%; 12,5%; 0,1%; 200%.
• Найдите % от числа:  0,1% от числа 1200?  (1,2), 15% от числа 2? (0,3)

• Найдите число по его проценту:
• Сколько центнеров весит  мешок сахарного песка, если 13% составляет 6,5 кг?
• (50 кг.= 0,5 ц.)
•  Сколько процентов от 10 составляет 9? (90%)

Цель: ознакомление с формулами « простых и сложных процентов» и формирование навыков применения формул при решении задач.

Тема. Простые и сложные проценты.

(Лекция + Презентация)

Эти термины чаще всего встречаются в банковских делах, в финансовых задачах. Банки привлекают средства (вклады) за определенные процентные ставки. В зависимости от процентной ставки вычисляется доход.

На практике применяются два подхода к оценке процентного дохода – простые и сложные проценты.

При применении простых процентов доход рассчитывается от первоначальной суммы вложенных средств не зависимо от срока вложения. В финансовых операциях простые проценты используются преимущественно при краткосрочных финансовых сделках.

(слайд 5) Пусть некоторая величина подвержена поэтапному изменению. При этом каждый раз ее изменение составляет определенное число процентов от значения, которое эта величина имела на начальном этапе. Так вычисляются простые проценты.

При применении сложных процентов накопленная сумма процентов добавляется во вклад по окончании очередного периода начислений. При этом каждый раз ее изменение составляет определенное число процентов от значения, которое эта величина имела на предыдущем этапе. В этом случае имеем дело со «сложными процентами» (т.е. используются начисления “процентов на проценты”)

Первоначальная сумма и полученные проценты в совокупности называются накопленной (наращенной) суммой.

(слайд 6) Так, если банковская ставка равна 10%, а первоначальная сумма 100 руб., то накопленная сумма за пять лет при применении простых и сложных процентов будет иметь вид:

Накопленная сумма с использованием простых и сложных процентов.

 Формулы простых и сложных процентов.

(  слайд 7) Пусть некоторая величина A увеличивается n раз (n год) и каждый раз на р%.

Вводим обозначения: A₀ – первоначальное значение величины A;

р – постоянное количество процентов;

a – процентная ставка; a = р/100 = 0,01·р

A_n – накопленная сумма за n раз (к концу n-го года) –  по формуле простых процентов;

S_n  – накопленная сумма за n раз (к концу n-го года) – по формуле сложных  процентов.

Тогда ее значение A₁  для простых процентов после первого увеличения (к концу первого года) вычисляется по формуле: A₁ = A₀ + A₀ · (0,01р) =  A₀ (1 + (0,01р) = A₀ (1 + a)

В конце второго этапа  A₂=  A₁ + A₀ · (0,01р) = A₀ (1 + a) + A₀ · a =  A₀ (1 + 2a ).

В конце третьего этапа  A₃=  A₂ + A_{0 ·} (0,01р) = A₀ (1 + 2a) + A₀ · a =  A₀ (1 + 3a ).

Тогда для простых процентов сумма по годам равна:

или    

(1)

Для сложных процентов это выглядит иначе:

(слайд 8) Пусть некоторая величина S₀ увеличивается n раз (n год) и каждый раз на р%.

Тогда ее значение S₁  для сложных процентов после первого увеличения (к концу первого года) вычисляется по формуле: S₁ = S₀ + S₀ (0,01р) = S₀ · (1 + 0,01р) = S₀ · (1 + a).

В конце второго этапа S₂= S₁ + S₁ (0,01р) = S₁ · (1 + 0,01р) = S₀ (1 + 0,01р)² = S₀  (1 + a)².

В конце третьего этапа S₃= S₂ + S₂ (0,01р) = S₂ · (1 +0,01р) = S₀(1 +0,01р)²·(1 +0,01р)=S₀(1 +0,01р)³  = S₀  (1 + a)³.

Тогда для сложных процентов сумма по годам равна:

или (2)

Пример 1. (слайд 9) В банке открыт срочный депозит на сумму 50 тыс. руб. по 12% на 3 года. Рассчитать накопленную сумму если проценты: а) простые;   б) сложные.

 По формуле простых процентов

Sn=(1+3*0.12)*50 000 = 68000 руб.

По формуле сложных процентов

Sn=(1+0.12)³*50 000 = 70246 руб.          

(слайд 10) Формула сложных процентов связывает четыре величины: начальный вклад, накопленную сумму (будущую стоимость вклада), годовую процентную ставку и время в годах. Поэтому, зная три величины, всегда можно найти четвертую:

S_n = S₀ · (1+0,01р)ⁿ

Для определения количество процентов р необходимо:

(2.1)    (выводят формулу учащиеся 1 ряда)

Операция нахождения первоначального вклада S₀, если известно что через n лет он должен составить сумму S_n, называется дисконтированием:

(2.2)    (выводят формулу учащиеся 2 ряда)

Сколько лет вклад  S₀ должен пролежать в банке под р % годовых, чтобы достигнуть величины S_n.

(2.3) (выводят формулу учащиеся 3ряда)

В банковской практике проценты могут начисляться чаще, чем 1 раз в год. При этом банковская ставка обычно устанавливается в пересчете на год. Формула сложных процентов будет иметь вид:

S_n = (1 + a/t )^n∙t S₀  

  (3)

где t – число реинвестиций процентов в году.(слайд 11)

Реинвестиции — это средства в виде доходов и благ, полученных инвестором от осуществленной успешной инвестиции в какой-либо объект и направленных повторно в тот же объект.

Также реинвестиции связаны с дополнительным или повторным  вложением капитала независимого от того осуществляется ли это вложение в тот же объект или уже в совершено иной. Например, реинвестиция государственного долга.

Реинвестиции представляет собой максимально быстрое увеличение доходов, путем планомерного повторного вложения средств в объект инвестиций.

Минусом реинвестиций является то, что инвестор получает всю прибыль только по окончанию инвестиционного периода. 

Пример 2. (слайд 12)  В банке открыт срочный депозит на сумму 50 тыс. руб. по 12% на 3 года. Рассчитать начисленную сумму, если проценты начисляются ежеквартально.

n = 3  t = 4 (в году – 4 квартала)

По формуле сложных процентов

S₃ = (1+0.12/4)^3*4*50000 = 1.03¹²*50000 = 71288 руб.

Как следует из примеров 1 и 2, накопленная сумма будет возрастать тем быстрее, чем чаще начисляются проценты.

Приведем обобщение формулы (2), когда прирост величины S на каждом этапе свой.

(слайд 14)     Пусть S_о, первоначальное значение величины  S,  в конце первого этапа испытывает изменение на р₁%, в конце второго на р₂%, а в конце третьего этапа на р₃% и т.д. В конце n-го этапа значение величины S определяется формулой

(4)

 Пример 3. (слайд 14) Торговая база закупила партию товара у изготовителя и поставила ее в магазин по оптовой цене, которая на 30% больше цены изготовителя. Магазин установил розничную цену на товар 20% выше оптовой. При распродаже магазин снизил эту цену на 10%. На сколько рублей больше заплатил покупатель по сравнению с ценой изготовителя, если на распродаже он приобрел товар за 140 руб. 40 коп.

 Пусть первоначальная цена составляет S руб., тогда по формуле (4) имеем:

S₀ (1 + 0,01·30)( 1 + 0,01·20)···( 1 – 0,01·10) = 140,4

S₀·1,3·1,2·0,9 = S₀·1,404 = 140,4

S₀ = 140,4: 1,404 = 100 (руб.)

Находим разность последней и первоначальной цены

140,4 – 100 = 40,4

Цель: повторение прежних знаний и навыков по теме «вычисление по формулам в программе Microsoft Office Exsel»

  Тема сегодняшнего урока хорошо вписывается в тему уроков информатики «Работа с электронной таблицей MS Excel. Решение расчетных задач». Вспомним что, на лекционном занятии мы с вами рассмотрели структуру, возможности, функции табличного процессора MS Excel, форматы представления данных в электронных таблицах программы, основные стандартные функции.

Напомню, что электронные таблицы предназначены для хранения и обработки информации, представленной в табличной форме. Программа MS Excel относится к наиболее практически значимым и востребованным. Знания, полученные при изучении электронных таблиц, могут пригодиться вам при планировании на самых различных уровнях: от государственного до домашнего.

Электронные таблицы позволяют производить быстрые, точные расчеты и автоматические перерасчеты при изменении исходных данных, представлять графически содержимое таблиц. С помощью электронных таблиц можно выполнять различные экономические, бухгалтерские и инженерные расчеты, а также строить диаграммы, моделировать и оптимизировать решение различных хозяйственных ситуаций и др. К преимуществам программы MS Excel относят также возможность автозаполнения электронных таблиц, что позволяет экономить время работы.

Сегодня на уроке мы закрепим полученные теоретические знания по работе с программой MS Excel, а также научимся создавать, редактировать и форматировать электронные таблицы, использовать формулы и стандартные функции при решении практических задач.

Устный опрос:

– Сейчас мы с вами вспомним основные понятия, которые нам пригодятся сегодня на уроке. Для этого надо ответить на поставленные вопросы. Тот, кто знает ответ на вопрос, поднимает руку и отвечает по разрешению преподавателя

1.    Что называется ячейкой электронной таблицы? (Ячейка – место пересечения столбца и строки таблицы.)

2.    Как обозначаются заголовки столбцов электронной таблицы? (Заголовки столбцов обозначаются латинскими буквами или сочетаниями букв (например, А, С, АВ))

3.    Как определяется адрес ячейки? (Адрес ячейки образуется из заголовка соответствующего столбца и номера соответствующей строки (например, В120)).

4.    Что называют диапазоном ячеек? Как задается адрес диапазона? (Группа смежных ячеек называется диапазоном. Диапазон задается адресами первой и последней входящих в него ячеек.)

5.     Что представляет собой файл, созданный в программе MS Excel? ( Каждый файл MS Excel является рабочей книгой, которая состоит из рабочих листов. Каждый рабочий лист представляет собой таблицу и имеет название. Количество, порядок расположения и названия рабочих листов можно изменять.)

6.     Как выделить несмежные ячейки, диапазоны ячеек, столбцы или строки? (При выделении надо удерживать клавишу CTRL на клавиатуре. Чтобы выделить целиком всю строку или весь столбец, надо щелкнуть мышкой по их заголовкам).

7.     Какие типы данных можно использовать в электронной таблице? (В работе с электронными таблицами можно выделить три основных типа данных: текст, число, формула.)

8.    Как выравниваются по умолчанию числовые данные в ячейках? Почему? (По умолчанию числа в ячейках выравниваются по правому краю, так как числа удобно выравнивать по разрядам (единицы под единицами, десятки под десятками и т.д.)

9.    Как выравнивается по умолчанию текст в ячейках таблицы? (Текст по умолчанию выравнивается в ячейке по левому краю.)

10. С какого знака начинается ввод формулы в ячейку таблицы? (Ввод формулы в ячейку начинается со знака «=». Также можно использовать кнопку «Вставка функции» на Панели инструментов или команду Вставка Функция.)

11. Какие типы данных можно использовать в формуле? (Формула может содержать числа, адреса ячеек, функции, знаки арифметических операций, знаки операций отношения.)

12.Какую команду нужно выполнить для форматирования ячеек? (Чтобы отформатировать ячейки, надо выделить нужный диапазон и дать команду Формат Ячейки.)

13. Какие форматы чисел можно использовать в электронной таблице? (Основные форматы чисел: Общий (без использования специальных средств, применяется для отображения числовых и текстовых данных), Числовой (выравниваются разряды), Денежный (выровнены разряды, используются символы валют), Финансовый (разряды выровнены по десятичному разделителю), Дата,  Время, Процентный, Дробный, Экспоненциальный (в научной нотации Е+, например, 1,33Е+11), Текстовый, Дополнительный (почтовый индекс, телефонный номер и др.).

14. Как изменить числовой формат данных? (Необходимо выполнить команду ФорматЯчейки, вкладка Число)

15. Какие вкладки содержит диалоговое окно форматирования ячеек? («Число» – позволяет выбрать формат для отображения чисел, «Выравнивание» – задает метод выравнивания ячейки по горизонтали и вертикали, а также угол наклона надписи, «Шрифт» – определяет начертание шрифта, «Граница» – позволяет задать внешние и внутренние рамки таблицы,«Вид» – для управления цветовым оформлением, «Защита».

Цель: Выработка практических навыков по теме.

Сейчас мы закрепим полученные теоретические знания по математике и работе с программой MS Excel с помощью компьютера, а также продолжим учиться создавать, редактировать и форматировать электронные таблицы, использовать формулы и стандартные функции при решении практических задач.

Предлагаю сесть за компьютеры парами и реализовать  одну из разобранных задач с помощью табличного процессора MS Excel. Для этого вам нужно открыть документ Задачи к уроку.xls и выполнить все 3 примера с сегодняшнего урока выбрать которые расположены на листах под именами: Задача1, Задача2, Задача3. На работу у вам отводиться 15 минут.

№1. Сберегательный банк начисляет по вкладам ежегодно 5,5% годовых. Вкладчик внес в банк 150 тысяч рублей. Какой станет сумма вклада через 2 года? (Ответ: 166953,75 руб.)

№2. Банк предлагает два варианта депозита (депози́т (банковский вклад) — это сумма денег, помещённая вкладчиком в банк на определённый или неопределённый срок. Банк пускает эти деньги в оборот, а в обмен выплачивает вкладчику проценты. Депозит является долгом банка перед вкладчиком, то есть, подлежит возврату.) 1) под 120% с начислением процентов в конце года; 2) под 100% с начислением процентов в конце каждого квартала. Определить более выгодный вариант размещения депозитов на один год.

Решение. Более выгодным считается тот вариант, при котором наращенная за год сумма будет больше. Для оценки вариантов начальную сумму примем равную 100 руб. По первому варианту накопленная сумма будет равна           (1+1,2)*100 руб. = 220 руб.

По второму варианту проценты начисляются  ежеквартально. По окончании первого квартала накопленная сумма равна  (1+1,0/4)*100 руб. = 125 руб.

По окончании 2-го квартала          (1+1,0/4)²*100 руб. = 156 руб.

За год накопленная сумма равна (1+1,0/4)⁴*100 руб. = 244 руб.

Как следует из расчетов второй вариант значительно выгоднее (244>220). Правда, только при условии применения сложных процентов.

•  С какими новыми понятиями мы познакомились на уроке?

•  Что такое “сложный процент”?  Чем он отличается от «простого процента»?

•    Как найти “сложный процент”?

•   Где используется эти проценты?

•   Какие трудности вы испытывали при решении задач?

•   Чему научились?

•   Оцените свою работу на уроке.

Итоги по решению задач (на компьютере). Выставление оценок.